Dział 7: Równania kwadratowe
Wzory Viète'a
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 1 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Gdy równanie ax² + bx + c = 0 ma pierwiastki (Δ ≥ 0), ich sumę i iloczyn można odczytać ze współczynników.
Wzory Viète'a
x₁ + x₂ = −ba x₁ · x₂ = ca
Wyrażenia symetryczne
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ − 3x₁x₂(x₁ + x₂) 1x₁ + 1x₂ = x₁ + x₂x₁x₂ (x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂
Znaki pierwiastków
Różnych znaków: c/a < 0. Oba dodatnie: Δ ≥ 0, x₁x₂ > 0, x₁ + x₂ > 0. Oba ujemne: Δ ≥ 0, x₁x₂ > 0, x₁ + x₂ < 0.
Równanie o danych pierwiastkach
x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.
Przykład 1
x² − 7x + 10 = 0. Oblicz x₁² + x₂².
Pokaż rozwiązanie
49 − 20 = 29.
Uwaga! Zawsze sprawdź najpierw, czy Δ ≥ 0 – bez pierwiastków wzory Viète'a nie mają sensu.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Nie rozwiązując równania −x² + 4 = 0, oblicz sumę jego pierwiastków.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 0
- x₁ + x₂ = 0/(−1) = 0
Zadanie 2
Nie rozwiązując równania x² + 2x − 3 = 0, oblicz x₁² + x₂².
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 10
- (−2)² − 2·(−3) = 10
Zadanie 3
Nie rozwiązując równania x² − 9x + 20 = 0, oblicz 1x₁ + 1x₂.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 0,45
- 9 : 20 = 0,45
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.