Dział 2: Wyrażenia algebraiczne
Twierdzenia. Dowodzenie twierdzeń
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 1 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Twierdzenie ma postać „jeżeli założenie, to teza”. Dowód pokazuje, że teza wynika z założenia.
Dowód wprost
Wychodzimy z założenia i ciągiem przekształceń dochodzimy do tezy.
Liczby
Podzielność wykazujemy, zapisując liczbę jako k · (liczba całkowita).
Twierdzenie odwrotne
Zamienia założenie z tezą – nie zawsze jest prawdziwe.
Zaprzeczenia
∼(p ∧ q) ⇔ ∼p ∨ ∼q; ∼(p ∨ q) ⇔ ∼p ∧ ∼q; ∼(p ⇒ q) ⇔ p ∧ ∼q; ∼∀ = ∃∼, ∼∃ = ∀∼.
Dowód nie wprost
Zakładamy zaprzeczenie tezy i dochodzimy do sprzeczności (kontrapozycja: ∼q ⇒ ∼p).
Nierówność między średnimi
Dla a, b ≥ 0: a + b2 ≥ √(ab) – równość dla a = b.
Przykład 1
Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez 3.
Pokaż rozwiązanie
n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) – wielokrotność 3.
Przykład 2
Wykaż, że dla każdej liczby a: a2 + 1 ≥ 2a.
Pokaż rozwiązanie
a2 − 2a + 1 = (a − 1)2 ≥ 0.
Przykład 3
Udowodnij, że n³ − n dzieli się przez 6.
Pokaż rozwiązanie
n³ − n = (n − 1)n(n + 1) – wśród trzech kolejnych liczb jest liczba parzysta i podzielna przez 3.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Jak zapisać dowolną liczbę parzystą (n – liczba całkowita)?
- A. n + 2
- B. n²
- C. 2n + 1
- D. 2n
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 2n
- Dowolną liczbę parzystą: 2n
Zadanie 2
Różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych (większy minus mniejszy) jest zawsze liczbą:
- A. podzielną przez 4
- B. ujemną
- C. nieparzystą
- D. parzystą
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: nieparzystą
- (n + 1)² − n² = 2n + 1
Zadanie 3
Który przykład pokazuje, że zdanie „Każda liczba podzielna przez 3 jest nieparzysta.” jest fałszywe?
- A. 15
- B. 9
- C. 21
- D. 6
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 6
- 6 – dla tego przykładu zdanie nie zachodzi.
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.