Dział 5: Geometria analityczna
Interpretacja geometryczna układu równań
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 3 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Rozwiązanie układu równań to współrzędne punktów wspólnych wykresów: dwóch prostych, prostej i paraboli albo prostej i okręgu.
Dwie proste
Jeden punkt (przecinają się), brak (równoległe), nieskończenie wiele (pokrywają się).
Prosta i parabola/okrąg
Po podstawieniu dostajemy równanie kwadratowe: Δ > 0 – dwa punkty, Δ = 0 – styczność, Δ < 0 – brak.
Okrąg i prosta
d < r – 2 rozwiązania, d = r – 1, d > r – 0 (d – odległość środka od prostej).
Przykład 1
Wyznacz punkty wspólne y = x + 1 i y = x2 − 1.
Pokaż rozwiązanie
x2 − x − 2 = 0 ⇒ x = 2 lub x = −1. (2, 3) i (−1, 0).
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Ile rozwiązań ma układ równań: y = 3x − 5 i y = 5x − 5?
- A. dokładnie jedno rozwiązanie
- B. brak rozwiązań
- C. nieskończenie wiele rozwiązań
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: dokładnie jedno rozwiązanie
- Różne współczynniki kierunkowe → proste się przecinają.
Zadanie 2
Wyznacz punkt przecięcia prostych y = 2x + 4 i y = 3x + 6.
- A. (2, 0)
- B. (−2, 0)
- C. (0, −2)
- D. (0, 4)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: (−2, 0)
- 2x + 4 = 3x + 6 → x = −2
- y = 0
Zadanie 3
Ile punktów wspólnych ma prosta y = 2 z okręgiem x² + (y + 1)² = 4?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 0
- S = (0, −1), r = 2
- odległość S od prostej y = 2: 3
- 3 > 2 → 0
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.