Dział 3: Przygotowanie do matury
Funkcje wykładnicze i logarytmiczne
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Ściąga do powtórki: najważniejsze zasady i wzory ze wszystkich tematów, z których pochodzą zadania.
Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna
Wykładnicza
Dziedzina ℝ, wartości (0; ∞), przechodzi przez (0, 1).
Logarytmiczna
Dziedzina (0; ∞), wartości ℝ, przechodzi przez (1, 0).
Monotoniczność
a > 1 – obie rosnące; 0 < a < 1 – obie malejące.
Równania wykładnicze i logarytmiczne
Wykładnicze
af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x).
Logarytmiczne
loga f(x) = b ⇔ f(x) = ab (i f(x) > 0).
Dziedzina
Przy logarytmach zawsze sprawdź, czy liczba logarytmowana jest dodatnia.
Zastosowania funkcji wykładniczych i logarytmicznych
Wzrost o p% na okres
N = N0 · (1 + 0,01p)n
Spadek o p%
N = N0 · (1 − 0,01p)n
Czas połowicznego rozpadu T
N = N0 · (12)t/T
Własności logarytmów
Iloczyn
loga(xy) = logax + logay
Iloraz
loga(x/y) = logax − logay
Potęga
logaxn = n · logax
Zmiana podstawy
logab = logcblogca
Uwaga! log(x + y) ≠ log x + log y – wzór działa tylko dla iloczynu.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Dana jest funkcja f(x) = (12)x. Oblicz f(0).
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 1
- f(0) = (1/2)0 = 1
Zadanie 2
Dana jest funkcja f(x) = log5x. Oblicz f(25).
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 2
- 52 = 25 → f = 2
Zadanie 3
Wykres funkcji f(x) = ax (a > 0) przechodzi przez punkt (3, 125). Oblicz a.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 5
- a3 = 125 → a = 5
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.