Dział 3: Przygotowanie do matury
Wielomiany i wyrażenia wymierne
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Ściąga do powtórki: najważniejsze zasady i wzory ze wszystkich tematów, z których pochodzą zadania.
Rozkład wielomianu na czynniki
Wyłączanie
x3 − 4x = x(x2 − 4).
Wzory skróconego mnożenia
x2 − 4 = (x − 2)(x + 2); a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2); a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2).
Grupowanie
x3 + 2x2 − 9x − 18 = x2(x + 2) − 9(x + 2) = (x + 2)(x − 3)(x + 3).
Trójmian
Gdy Δ ≥ 0: ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2).
Uwaga! x2 + 4 nie rozkłada się dalej – Δ < 0.
Równania wielomianowe
Iloczyn zerowy
a · b = 0 ⇔ a = 0 lub b = 0.
Pierwiastek wielokrotny
W (x − 2)3 liczba 2 jest pierwiastkiem trzykrotnym.
Liczba pierwiastków
Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków.
Twierdzenie Bézouta
Twierdzenie
W(a) = 0 ⇔ (x − a) | W(x)
Reszta z dzielenia
Reszta z dzielenia W(x) przez (x − a) równa się W(a).
Pierwiastki całkowite
Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami wyrazu wolnego.
Równania wielomianowe (cd.)
Kandydaci
Dla W(x) = x3 − 7x + 6: dzielniki 6 – ±1, ±2, ±3, ±6.
Kroki
1) Znajdź a, dla którego W(a) = 0. 2) Podziel W przez (x − a). 3) Rozwiąż równanie z ilorazem.
Wyrażenia wymierne
Dziedzina
Wyrzucamy liczby, dla których mianownik jest równy 0.
Skracanie
Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki: x2 − 4x − 2 = x + 2 dla x ≠ 2.
Dodawanie
Sprowadzamy do wspólnego mianownika (najlepiej najmniejszego).
Mnożenie, dzielenie
Jak ułamki: dzielenie to mnożenie przez odwrotność.
Uwaga! Skracamy tylko czynniki (iloczyny), nigdy składniki sumy.
Równania wymierne
Kroki
1) Dziedzina. 2) Mnożenie przez wspólny mianownik. 3) Rozwiązanie. 4) Odrzucenie liczb spoza dziedziny.
Ułamek równy zero
P(x)Q(x) = 0 ⇔ P(x) = 0 i Q(x) ≠ 0.
Hiperbola. Przesuwanie hiperboli
Wzór
y = ax − p + q
Asymptoty
Pionowa x = p, pozioma y = q.
Dziedzina i wartości
D = ℝ \ {p}, ZW = ℝ \ {q}.
Monotoniczność
a > 0 – malejąca w każdym z przedziałów dziedziny, a < 0 – rosnąca.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Rozłóż na czynniki: 3x³ − 192x
- A. 3x(x² + 64)
- B. 3(x − 8)(x + 8)
- C. 3x(x − 8)²
- D. 3x(x − 8)(x + 8)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 3x(x − 8)(x + 8)
- 3x³ − 192x = 3x(x² − 64)
- x² − 64 = (x − 8)(x + 8)
- Wynik: 3x(x − 8)(x + 8)
Zadanie 2
Rozłóż na czynniki (pogrupuj wyrazy): x³ − 6x² − 16x + 96
- A. (x − 6)(x − 4)(x + 4)
- B. (x − 6)(x² + 16)
- C. (x − 6)(x − 4)²
- D. (x + 6)(x − 4)(x + 4)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: (x − 6)(x − 4)(x + 4)
- x³ − 6x² − 16x + 96 = x²(x − 6) − 16(x − 6)
- = (x − 6)(x² − 16) = (x − 6)(x − 4)(x + 4)
Zadanie 3
Rozłóż na czynniki: x³ − 125
- A. (x − 5)(x² − 5x + 25)
- B. (x − 5)³
- C. (x − 5)(x² + 5x + 25)
- D. (x + 5)(x² − 5x + 25)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: (x − 5)(x² + 5x + 25)
- 125 = 5³
- Wynik: (x − 5)(x² + 5x + 25)
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.