Dział 3: Przygotowanie do matury
Równania i nierówności
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Ściąga do powtórki: najważniejsze zasady i wzory ze wszystkich tematów, z których pochodzą zadania.
Rozwiązywanie równań
Liczba rozwiązań
a ≠ 0 – jedno, a = 0 i b = 0 – nieskończenie wiele (tożsamościowe), a = 0 i b ≠ 0 – brak (sprzeczne).
Postać iloczynowa
Iloczyn równa się 0, gdy któryś czynnik jest zerem: (x − 2)(x + 5) = 0 ⇒ x = 2 lub x = −5.
Wartość bezwzględna
|x − a| = b (b > 0): x − a = b lub x − a = −b.
Rozwiązywanie nierówności
Zmiana zwrotu
−2x > 6 ⇒ x < −3.
Wynik
Zbiór rozwiązań zapisujemy jako przedział i zaznaczamy na osi.
Uwaga! Zapominanie o zmianie zwrotu przy dzieleniu przez liczbę ujemną to najczęstszy błąd.
Nierówności z wartością bezwzględną
|x − a| < b
x ∈ (a − b; a + b) – liczby bliżej niż b.
|x − a| > b
x ∈ (−∞; a − b) ∪ (a + b; +∞) – dalej niż b.
Układy równań
Podstawianie
Wyznacz jedną niewiadomą z jednego równania i podstaw do drugiego.
Przeciwne współczynniki
Pomnóż równania tak, by przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, i dodaj stronami.
Wyróżnik równania kwadratowego. Rozwiązywanie równań
Wyróżnik
Δ = b2 − 4ac
Δ > 0
x1,2 = −b ± √Δ2a
Δ = 0
Jedno rozwiązanie: x = −b2a.
Δ < 0
Brak rozwiązań rzeczywistych.
Nierówności kwadratowe
Kroki
1) Miejsca zerowe. 2) Szkic paraboli (kierunek ramion). 3) Odczyt z wykresu.
a > 0
Wartości ujemne między pierwiastkami, dodatnie na zewnątrz.
Δ < 0
Parabola cała nad osią (a > 0) albo pod (a < 0).
Uwaga! Przy znaku ≤ lub ≥ końce należą do rozwiązania – nawiasy ostre.
Równania wymierne
Kroki
1) Dziedzina. 2) Mnożenie przez wspólny mianownik. 3) Rozwiązanie. 4) Odrzucenie liczb spoza dziedziny.
Ułamek równy zero
P(x)Q(x) = 0 ⇔ P(x) = 0 i Q(x) ≠ 0.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Rozwiąż równanie: x − 12 − x − 94 = 2
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 1
- Mnożymy przez 4: 2(x − 1) − 1(x − 9) = 8
- x = 1
Zadanie 2
Wyznacz zbiór rozwiązań równania: (x + 3)(x − 8) = 0
- A. {−8; 3}
- B. {−3; 8}
- C. {3; 8}
- D. {−3}
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: {−3; 8}
- x + 3 = 0 → x = −3
- x − 8 = 0 → x = 8
- Zbiór rozwiązań: {−3; 8}
Zadanie 3
Rozwiąż równanie: |x − 3| = 3
- A. ∅
- B. {0; 6}
- C. {−6; 0}
- D. {6}
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: {0; 6}
- x − 3 = 3 lub x − 3 = −3
- Zbiór rozwiązań: {0; 6}
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.