Dział 3: Przygotowanie do matury
Geometria analityczna
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Ściąga do powtórki: najważniejsze zasady i wzory ze wszystkich tematów, z których pochodzą zadania.
Punkty i odcinki w układzie współrzędnych
Długość
|AB| = √(xB − xA)2 + (yB − yA)2
Środek
S = (xA + xB2, yA + yB2)
Brakujący koniec
Gdy S jest środkiem AB: B = (2xS − xA, 2yS − yA).
Równanie prostej
Współczynnik kierunkowy
a = yB − yAxB − xA = tg α
Prosta przez punkt
y − y0 = a(x − x0).
Pionowa
x = c (nie ma postaci kierunkowej).
Równanie prostej (cd.)
Równoległe
a1 = a2.
Prostopadłe
a1 · a2 = −1.
Odległość punktu od prostej
d = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
Równanie okręgu
Równanie
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
Postać ogólna
x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0, gdzie r2 = a2 + b2 − c > 0.
Styczna
Prosta odległa od środka o r.
Interpretacja geometryczna układu równań
Dwie proste
Jeden punkt (przecinają się), brak (równoległe), nieskończenie wiele (pokrywają się).
Prosta i parabola/okrąg
Po podstawieniu dostajemy równanie kwadratowe: Δ > 0 – dwa punkty, Δ = 0 – styczność, Δ < 0 – brak.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Oblicz długość odcinka AB, gdzie A = (−5, −4), B = (−3, −1).
- A. √13
- B. 5
- C. √14
- D. √11
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: √13
- (−3 − (−5))² + (−1 − (−4))² = 13
- |AB| = √13 = √13
Zadanie 2
Punkt S = (2, 4) jest środkiem odcinka AB, a A = (4, 7). Wyznacz B.
- A. (−2, −3)
- B. (3, 5,5)
- C. (0, 1)
- D. (6, 10)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: (0, 1)
- B = (2 · 2 − 4, 2 · 4 − 7) = (0, 1)
Zadanie 3
Wyznacz obraz punktu A = (8, −8) w symetrii względem osi OY.
- A. (−8, −8)
- B. (8, 8)
- C. (−8, 8)
- D. (−7, −8)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: (−8, −8)
- (−8, −8)
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.