Dział 1: Wielomiany
Dzielenie wielomianów
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 2 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Wielomiany dzielimy pisemnie jak liczby: W(x) = P(x) · Q(x) + R(x), gdzie stopień reszty R jest mniejszy niż stopień dzielnika P.
Dzielenie pisemne
Dzielimy najwyższe potęgi, mnożymy dzielnik przez wynik, odejmujemy i powtarzamy.
Schemat Hornera
Szybka metoda dzielenia przez dwumian (x − a).
Podzielność
W dzieli się przez P, gdy reszta R(x) = 0.
Reszta z dzielenia przez wielomian stopnia 2
R(x) = px + q. Z warunków W(a) = R(a), W(b) = R(b) wyznaczamy p i q.
Przykład 1
Podziel: (x3 − 2x2 − 5x + 6) : (x − 1).
Pokaż rozwiązanie
Horner dla a = 1: współczynniki 1, −1, −6, reszta 0. Wynik: x2 − x − 6.
Przykład 2
W(1) = 3, W(−1) = 5. Reszta z dzielenia przez x² − 1?
Pokaż rozwiązanie
p + q = 3, −p + q = 5 → R(x) = −x + 4.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Podziel wielomian x³ − x² − 15x + 12 przez x − 4. Jaki jest iloraz?
- A. x² − 3x − 3
- B. x² + 3x + 3
- C. x² − 5x + 5
- D. x² + 3x − 3
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: x² + 3x − 3
- Współczynniki: 1, −1, −15, 12; dzielimy przez x − 4 (liczba 4)
- Horner: 1, 3, −3 | reszta 0
- Iloraz: x² + 3x − 3
Zadanie 2
Jaka jest reszta z dzielenia wielomianu −x³ + 4x² − 5x − 3 przez x + 2?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 31
- Horner dla −2: −1, 6, −17, reszta 31
- Sprawdzenie: W(−2) = 31
Zadanie 3
Iloraz z dzielenia wielomianu W(x) przez x + 1 to x + 3, a reszta wynosi 6. Jaki to wielomian?
- A. x² + 4x + 9
- B. x² + 4x + 3
- C. x² + 2x + 3
- D. x² + 4x − 3
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: x² + 4x + 9
- W(x) = (x + 1)(x + 3) + 6
- = x² + 4x + 3 + 6 = x² + 4x + 9
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.