Dział 1: Wielomiany
Rozkład wielomianu na czynniki
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 2 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Rozłożyć wielomian na czynniki to zapisać go jako iloczyn wielomianów niższych stopni.
Wyłączanie
x3 − 4x = x(x2 − 4).
Wzory skróconego mnożenia
x2 − 4 = (x − 2)(x + 2); a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2); a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2).
Grupowanie
x3 + 2x2 − 9x − 18 = x2(x + 2) − 9(x + 2) = (x + 2)(x − 3)(x + 3).
Trójmian
Gdy Δ ≥ 0: ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2).
Pierwiastek wielokrotny
a jest pierwiastkiem k-krotnym, gdy W(x) = (x − a)ᵏ · Q(x) i Q(a) ≠ 0.
Przydatne rozkłady
x⁴ − a⁴ = (x − a)(x + a)(x² + a²) x³ ± a³ = (x ± a)(x² ∓ ax + a²)
Przykład 1
Rozłóż: x4 − 16.
Pokaż rozwiązanie
(x2 − 4)(x2 + 4) = (x − 2)(x + 2)(x2 + 4).
Uwaga! x2 + 4 nie rozkłada się dalej – Δ < 0.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Rozłóż na czynniki: 3x³ − 12x
- A. 3x(x − 2)²
- B. 3(x − 2)(x + 2)
- C. 3x(x² + 4)
- D. 3x(x − 2)(x + 2)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 3x(x − 2)(x + 2)
- 3x³ − 12x = 3x(x² − 4)
- x² − 4 = (x − 2)(x + 2)
- Wynik: 3x(x − 2)(x + 2)
Zadanie 2
Rozłóż na czynniki (pogrupuj wyrazy): x³ − 4x² − 9x + 36
- A. (x − 4)(x − 3)²
- B. (x − 4)(x − 3)(x + 3)
- C. (x + 4)(x − 3)(x + 3)
- D. (x − 4)(x² + 9)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: (x − 4)(x − 3)(x + 3)
- x³ − 4x² − 9x + 36 = x²(x − 4) − 9(x − 4)
- = (x − 4)(x² − 9) = (x − 4)(x − 3)(x + 3)
Zadanie 3
Rozłóż na czynniki: x³ + 8
- A. (x − 2)(x² + 2x + 4)
- B. (x + 2)(x² − 2x + 4)
- C. (x + 2)³
- D. (x + 2)(x² + 2x + 4)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: (x + 2)(x² − 2x + 4)
- 8 = 2³
- Wynik: (x + 2)(x² − 2x + 4)
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.