Dział 1: Wielomiany
Twierdzenie Bézouta
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 2 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Twierdzenie Bézouta łączy pierwiastki wielomianu z jego dzielnikami: liczba a jest pierwiastkiem W wtedy i tylko wtedy, gdy W dzieli się przez (x − a).
Twierdzenie
W(a) = 0 ⇔ (x − a) | W(x)
Reszta z dzielenia
Reszta z dzielenia W(x) przez (x − a) równa się W(a).
Pierwiastki całkowite
Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami wyrazu wolnego.
Podzielność przez iloczyn
W dzieli się przez (x − a)(x − b) ⇔ W(a) = 0 i W(b) = 0 (a ≠ b).
Przykład 1
Oblicz resztę z dzielenia W(x) = x3 + 2x − 5 przez (x − 2).
Pokaż rozwiązanie
W(2) = 8 + 4 − 5 = 7.
Przykład 2
Dla jakiego m wielomian x3 + mx − 2 dzieli się przez (x + 1)?
Pokaż rozwiązanie
W(−1) = −1 − m − 2 = 0 ⇒ m = −3.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Nie wykonując dzielenia, oblicz resztę z dzielenia wielomianu x³ − 2x² + 8 przez x − 1.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 7
- Reszta = W(1)
- W(1) = 7
Zadanie 2
Dla jakiej wartości m wielomian W(x) = x³ + mx − 18 jest podzielny przez x − 2?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 5
- W(2) = 8 + 0 + 2m − 18 = 0
- 2m = 10
- m = 5
Zadanie 3
Która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x³ − 7x² + 14x − 8?
- A. −2
- B. −8
- C. −4
- D. 1
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 1
- W(1) = 0
- W(−8) = −1080 ≠ 0
- W(−4) = −240 ≠ 0
- W(−2) = −72 ≠ 0
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.