Dział 1: Wielomiany
Równania wielomianowe (cd.)
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 2 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Gdy wielomianu nie da się łatwo rozłożyć, szukamy pierwiastka całkowitego wśród dzielników wyrazu wolnego, a potem dzielimy przez (x − a).
Kandydaci
Dla W(x) = x3 − 7x + 6: dzielniki 6 – ±1, ±2, ±3, ±6.
Kroki
1) Znajdź a, dla którego W(a) = 0. 2) Podziel W przez (x − a). 3) Rozwiąż równanie z ilorazem.
Wzory Viète'a dla stopnia 3
x³ + bx² + cx + d = 0: x₁ + x₂ + x₃ = −b, x₁x₂x₃ = −d
Z parametrem
x(x² + px + m) = 0 ma trzy różne rozwiązania ⇔ trójmian ma dwa różne pierwiastki różne od 0.
Przykład 1
Rozwiąż: x3 − 7x + 6 = 0.
Pokaż rozwiązanie
W(1) = 0. Dzielimy: x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3). x ∈ {−3, 1, 2}.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Rozwiąż równanie: x³ + 3x² − 10x = 0
- A. {−2; 0; 5}
- B. {−5; 0; 2}
- C. {0; 2}
- D. {−5; 0; 3}
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: {−5; 0; 2}
- W(2) = 0 → dzielimy przez x − 2
- Iloraz: x² + 5x
- Pozostałe pierwiastki: 0 i −5
- Zbiór: {−5; 0; 2}
Zadanie 2
Rozwiąż równanie: x⁴ − 20x² + 64 = 0
- A. {2; 4}
- B. {−4; −2; 2; 4}
- C. {−16; −4; 4; 16}
- D. {4; 16}
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: {−4; −2; 2; 4}
- t = x²: t² − 20t + 64 = 0
- t = 4 lub t = 16
- x² = 4 lub x² = 16
- Zbiór: {−4; −2; 2; 4}
Zadanie 3
Liczba −2 jest pierwiastkiem równania x³ − 6x² − x + 30 = 0. Wyznacz pozostałe pierwiastki i podaj ich sumę.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 8
- Iloraz: x² − 8x + 15
- Pierwiastki ilorazu: 5 i 3
- Suma: 8
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.