Dział 1: Wielomiany
Równania wielomianowe
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 2 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Równanie wielomianowe rozwiązujemy, rozkładając wielomian na czynniki i przyrównując każdy czynnik do zera.
Iloczyn zerowy
a · b = 0 ⇔ a = 0 lub b = 0.
Pierwiastek wielokrotny
W (x − 2)3 liczba 2 jest pierwiastkiem trzykrotnym.
Liczba pierwiastków
Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków.
Pierwiastki wymierne
Jeśli współczynniki są całkowite, pierwiastek całkowity dzieli wyraz wolny (wymierny p/q: p | a₀, q | aₙ).
Podstawienie
x⁶ + bx³ + c = 0 – podstaw t = x³; x⁴ + bx² + c = 0 – t = x².
Przykład 1
Rozwiąż: x3 − 5x2 + 6x = 0.
Pokaż rozwiązanie
x(x2 − 5x + 6) = x(x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ x ∈ {0, 2, 3}.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Rozwiąż równanie: (x − 3)(x + 6)(x² + 9) = 0
- A. {−6; −3; 3; 3}
- B. {−6; 3}
- C. {−9; −6; 3}
- D. {−3; 6}
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: {−6; 3}
- (x − 3) = 0 → x = 3
- (x + 6) = 0 → x = −6
- x² + 9 = 0 – brak rozwiązań
- Zbiór: {−6; 3}
Zadanie 2
Rozwiąż równanie: 3x³ = −3x²
- A. {−1; 0}
- B. {−3; 0}
- C. {−1}
- D. {0; 1}
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: {−1; 0}
- 3x³ + 3x² = 0
- 3x²(x + 1) = 0
- x = 0 lub x = −1
- Zbiór: {−1; 0}
Zadanie 3
Rozwiąż równanie: x⁴ − 256 = 0
- A. {−4; 4}
- B. ∅
- C. {4}
- D. {−16; 16}
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: {−4; 4}
- x⁴ = 256 → x² = 16
- x = ±4
- Zbiór: {−4; 4}
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.