Dział 4: Figury na płaszczyźnie. Część 2
Okrąg wpisany w wielokąt
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 2 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Środek okręgu opisanego leży na przecięciu symetralnych boków, a wpisanego – na przecięciu dwusiecznych kątów.
Trójkąt prostokątny
R = c2, r = a + b − c2
Trójkąt równoboczny
R = 23h = a√33, r = 13h = a√36
Pole a okrąg wpisany
P = r · p, gdzie p = a + b + c2 (połowa obwodu).
Okrąg wpisany w wielokąt
W czworokąt można wpisać okrąg ⇔ sumy przeciwległych boków są równe: a + c = b + d.
Promień okręgu wpisanego
r = P : p (p – połowa obwodu); w trójkącie prostokątnym r = (a + b − c) : 2.
Trapez z okręgiem wpisanym
Równoramienny: ramię = (a + b) : 2, wysokość = √(ab) = 2r.
Przykład 1
Trójkąt prostokątny ma boki 6, 8, 10. Oblicz R i r.
Pokaż rozwiązanie
R = 10 : 2 = 5, r = 6 + 8 − 102 = 2.
Przykład 2
W czworokąt wpisano okrąg: AB = 7, BC = 5, CD = 4. DA?
Pokaż rozwiązanie
7 + 4 = 5 + DA → DA = 6.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 6 i 8. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 5
- c = 10
- R = 10 : 2 = 5
Zadanie 2
Boki trójkąta prostokątnego mają długości 24, 32 i 40. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 8
- r = (24 + 32 − 40) : 2 = 8
- Sprawdzenie: P = 384, p = 48, P : p = 8
Zadanie 3
Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku 6.
- A. 1√3
- B. 2√3
- C. 6√3
- D. 4√3
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 2√3
- h = 6√3 : 2
- R = ⅔h = 6√3 : 3 = 2√3
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.