Dział 4: Figury na płaszczyźnie. Część 2
Proste i okręgi
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 2 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Prosta może być rozłączna z okręgiem, styczna albo sieczna – zależy to od odległości d prostej od środka i promienia r.
Położenie
d > r – rozłączna, d = r – styczna, d < r – sieczna.
Styczna
Jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
Odcinki stycznych
Z punktu zewnętrznego dwa odcinki stycznych są równe.
Cięciwa
Długość cięciwy: 2√r2 − d2.
Wzajemne położenie okręgów
d > r₁ + r₂ – rozłączne zewnętrznie (4 styczne), d = r₁ + r₂ – styczne zewn. (3), |r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂ – przecinają się (2), d = |r₁ − r₂| – styczne wewn. (1), d < |r₁ − r₂| – jeden w drugim (0).
Styczna wspólna zewnętrzna
t = √(d² − (r₁ − r₂)²)
Przykład 1
Okrąg ma promień 10, cięciwa jest odległa od środka o 6. Oblicz jej długość.
Pokaż rozwiązanie
2√100 − 36 = 2 · 8 = 16.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Prosta PT jest styczna do okręgu o środku O w punkcie T. |OT| = 8, |OP| = 17. Oblicz |PT|.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 15
- |PT|² = 17² − 8² = 225
- Wynik: 15
Zadanie 2
Okrąg ma promień 9, a odległość prostej od środka okręgu wynosi 9. Ile punktów wspólnych ma prosta z okręgiem?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 1
- 9 = 9 → 1
Zadanie 3
Z punktu P poprowadzono dwie styczne do okręgu w punktach A i B. |PA| = 12, a kąt APB ma 60°. Oblicz obwód trójkąta APB.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 36
- |PA| = |PB| = 12, kąt 60° → trójkąt równoboczny
- Obwód: 3 · 12 = 36
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.