Dział 1: Wielomiany
Twierdzenie Bézouta
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 2.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Twierdzenie Bézouta łączy pierwiastki wielomianu z jego dzielnikami: liczba a jest pierwiastkiem W wtedy i tylko wtedy, gdy W dzieli się przez (x − a).
Twierdzenie
W(a) = 0 ⇔ (x − a) | W(x)
Reszta z dzielenia
Reszta z dzielenia W(x) przez (x − a) równa się W(a).
Pierwiastki całkowite
Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami wyrazu wolnego.
Przykład 1
Oblicz resztę z dzielenia W(x) = x3 + 2x − 5 przez (x − 2).
Pokaż rozwiązanie
W(2) = 8 + 4 − 5 = 7.
Przykład 2
Dla jakiego m wielomian x3 + mx − 2 dzieli się przez (x + 1)?
Pokaż rozwiązanie
W(−1) = −1 − m − 2 = 0 ⇒ m = −3.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Nie wykonując dzielenia, oblicz resztę z dzielenia wielomianu x³ − 2x² − 7x − 10 przez x + 1.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: −6
- Reszta = W(−1)
- W(−1) = −6
Zadanie 2
Dla jakiej wartości m wielomian W(x) = x³ + 2x² + mx − 21 jest podzielny przez x − 3?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: −8
- W(3) = 27 + 18 + 3m − 21 = 0
- 3m = −24
- m = −8
Zadanie 3
Która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x³ − 6x² + 11x − 6?
- A. −3
- B. −2
- C. −6
- D. 2
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 2
- W(2) = 0
- W(−2) = −60 ≠ 0
- W(−3) = −120 ≠ 0
- W(−6) = −504 ≠ 0
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.