Dział 3: Granice funkcji
Twierdzenie Darboux
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Funkcja ciągła nie „przeskakuje” wartości.
Twierdzenie Darboux
Jeśli f jest ciągła w ⟨a; b⟩ i f(a) · f(b) < 0, to istnieje c ∈ (a; b), dla którego f(c) = 0.
Zastosowanie
Lokalizowanie pierwiastków równań: sprawdzamy znaki f na końcach kolejnych przedziałów.
Przykład 1
x³ + x − 1 = 0
Pokaż rozwiązanie
f(0) = −1 < 0, f(1) = 1 > 0 → pierwiastek w (0; 1).
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
W którym przedziale na pewno leży pierwiastek równania x³ + 3x + 2 = 0?
- A. (1; 2)
- B. (2; 3)
- C. (0; 1)
- D. (−1; 0)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: (−1; 0)
- f(−1) = −2, f(0) = 2 – różne znaki
- (−1; 0)
Zadanie 2
Czy z twierdzenia Darboux wynika, że równanie x³ = 5 ma rozwiązanie w (1; 2)?
- A. tak, bo f(1) = f(2)
- B. nie da się stwierdzić
- C. nie, bo 5 nie jest sześcianem
- D. tak, bo f(x) = x³ − 5 jest ciągła i f(1) < 0 < f(2)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: tak, bo f(x) = x³ − 5 jest ciągła i f(1) < 0 < f(2)
- tak, bo f(x) = x³ − 5 jest ciągła i f(1) < 0 < f(2)
Zadanie 3
W którym przedziale na pewno leży pierwiastek równania x³ − 5x + 8 = 0?
- A. (2; 3)
- B. (−1; 0)
- C. (−3; −2)
- D. (1; 2)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: (−3; −2)
- f(−3) = −4, f(−2) = 10 – różne znaki
- (−3; −2)
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.