Dział 9: Funkcja kwadratowa
Równania i nierówności z parametrem
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 1 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
W zadaniach z parametrem szukamy wartości m, dla których równanie lub nierówność ma określoną liczbę lub rodzaj rozwiązań.
Liczba rozwiązań
Dwa – Δ > 0; jedno – Δ = 0; brak – Δ < 0. Gdy parametr stoi przy x², osobno rozpatrz m = 0 (równanie liniowe).
Nierówność dla każdego x
ax² + bx + c > 0 dla wszystkich x ⇔ a > 0 i Δ < 0 (lub a = b = 0, c > 0).
Znaki pierwiastków
Dwa dodatnie: Δ > 0, x₁x₂ > 0, x₁ + x₂ > 0. Różnych znaków: x₁x₂ < 0.
Przykład 1
mx² − 4x + m = 0 ma dwa różne rozwiązania?
Pokaż rozwiązanie
m ≠ 0 i Δ = 16 − 4m² > 0 → m ∈ (−2; 0) ∪ (0; 2).
Uwaga! Na końcu zawsze weź część wspólną wszystkich warunków.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Dla jakich m równanie x² + 4x + m = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie?
- A. m = 4
- B. m ∈ (−∞; 4)
- C. m ∈ (4; +∞)
- D. m ∈ (−∞; 4⟩
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: m = 4
- Δ = 16 − 4m
- m = 4
Zadanie 2
Dla jakich m równanie mx² − 6x + m = 0 ma dwa różne rozwiązania?
- A. m ∈ (0; 3)
- B. m ∈ (−∞; −3) ∪ (3; +∞)
- C. m ∈ (−3; 0) ∪ (0; 3)
- D. m ∈ (−3; 3)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: m ∈ (−3; 0) ∪ (0; 3)
- Δ = 36 − 4m² > 0 → m² < 9
- m ≠ 0
- m ∈ (−3; 0) ∪ (0; 3)
Zadanie 3
Dla jakich m nierówność x² + mx + 1 > 0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą?
- A. m ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞)
- B. m ∈ (−1; 1)
- C. m ∈ (−2; 2)
- D. m ∈ ⟨−2; 2⟩
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: m ∈ (−2; 2)
- Δ = m² − 4 < 0
- m ∈ (−2; 2)
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.