Dział 9: Funkcja kwadratowa
Zastosowania funkcji kwadratowej
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 1 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Funkcja kwadratowa przyjmuje wartość najmniejszą (a > 0) lub największą (a < 0) w wierzchołku. Dzięki temu rozwiązujemy zadania optymalizacyjne.
Ekstremum
W x = p = −b2a wartość f(p) = q.
W przedziale domkniętym
Najmniejsza i największa wartość są w wierzchołku (jeśli należy do przedziału) albo na końcach.
Optymalizacja
Zapisz wielkość jako funkcję kwadratową jednej zmiennej – ekstremum jest w wierzchołku (sprawdź dziedzinę!).
Przykład 1
Z 40 m siatki ogradzamy prostokąt. Jakie wymiary dają największe pole?
Pokaż rozwiązanie
Boki x i 20 − x. P = x(20 − x) = −x2 + 20x, p = 10. Kwadrat 10 m × 10 m, P = 100 m2.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Spośród prostokątów o obwodzie 68 cm wybrano ten o największym polu. Ile wynosi to pole?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 289
- P(x) = x(34 − x) = −x² + 34x
- p = 17, więc prostokąt jest kwadratem o boku 17
- Pole: 17² = 289 cm²
Zadanie 2
Mamy 40 m siatki. Ogradzamy prostokątny wybieg przy ścianie budynku (ściana tworzy jeden bok, siatka – trzy pozostałe). Jakie największe pole może mieć wybieg?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 200
- P(x) = x(40 − 2x) = −2x² + 40x
- p = 40 : 4 = 10
- Pole: 10 · 20 = 200 m²
Zadanie 3
Wysokość piłki rzuconej pionowo w górę opisuje wzór h(t) = −5t² + 20t (h w metrach, t w sekundach). Jaką największą wysokość osiągnie piłka?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 20
- t = −20 : (2 · (−5)) = 2 s
- h(2) = −5 · 4 + 20 · 2 = 20 m
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.