Dział 3: Funkcje
Funkcje wielomianowe
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 2 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Funkcja wielomianowa to funkcja W(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀. Jej wykres zależy od stopnia, znaku współczynnika aₙ i pierwiastków.
Zachowanie „na końcach”
Decyduje wyraz aₙxⁿ: stopień parzysty – oba końce w tę samą stronę (aₙ > 0 – w górę); stopień nieparzysty – w przeciwne (aₙ > 0: z dołu do góry).
Pierwiastki a wykres
Pierwiastek nieparzystokrotny – wykres przecina oś OX; parzystokrotny – dotyka jej (odbija się).
Postać iloczynowa
W(x) = a(x − x₁)(x − x₂)(x − x₃) – współczynnik a wyznaczamy z dodatkowego punktu wykresu.
Przykład 1
W(x) = (x − 2)²(x + 1). Gdzie wykres dotyka osi OX?
Pokaż rozwiązanie
W x = 2 (pierwiastek dwukrotny); w x = −1 przecina oś.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Funkcja W(x) = 3x⁵ + 3x − 1. Dla x dążących do −∞ wartości W(x) są:
- A. bliskie zeru
- B. dowolnie duże ujemne (o dużej wartości bezwzględnej)
- C. dowolnie duże dodatnie
- D. stałe
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: dowolnie duże ujemne (o dużej wartości bezwzględnej)
- 3x⁵ dla x → −∞
- dowolnie duże ujemne (o dużej wartości bezwzględnej)
Zadanie 2
Miejscami zerowymi wielomianu W stopnia 3 są −2, −1 i 4, a wykres przechodzi przez punkt (5, −126). Wyznacz współczynnik przy x³.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: −3
- −126 = a·7·6·1
- a = −3
Zadanie 3
W którym punkcie wykres funkcji W(x) = x²(x − 1)(x − 4) jest styczny do osi OX (dotyka jej, nie przecinając)?
- A. w żadnym
- B. x = 0
- C. x = 1
- D. x = 4
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: x = 0
- 0 – pierwiastek dwukrotny
- x = 0
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.