Dział 3: Funkcje
Funkcje wielomianowe (cd.)
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 2 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Badamy liczbę pierwiastków wielomianu, jego parzystość i pierwiastki wielokrotne – także z parametrem.
Parzystość
Tylko parzyste potęgi – funkcja parzysta (wykres symetryczny względem OY); tylko nieparzyste (bez wyrazu wolnego) – nieparzysta.
Pierwiastek dwukrotny
x³ + px² + qx = x(x − a)² ⇔ p = −2a, q = a².
Liczba pierwiastków
Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków; stopnia nieparzystego – co najmniej jeden.
Przykład 1
Dla jakich m równanie x³ − mx = 0 ma trzy rozwiązania?
Pokaż rozwiązanie
x(x² − m) = 0 → m > 0.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Dla jakich m równanie x³ − mx = 0 ma trzy różne rozwiązania?
- A. m ∈ ⟨0; +∞)
- B. m ∈ ℝ
- C. m ∈ (0; +∞)
- D. m ∈ (−∞; 0)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: m ∈ (0; +∞)
- x = 0 lub x² = m
- m ∈ (0; +∞)
Zadanie 2
Wykres wielomianu stopnia 3 może przecinać oś OX w:
- A. 1, 2 albo 3 punktach
- B. 4 punktach
- C. dokładnie 3 punktach
- D. 0 punktach
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 1, 2 albo 3 punktach
- 1, 2 albo 3 punktach
Zadanie 3
Wielomian W(x) = x³ + px² + qx ma pierwiastek dwukrotny −5. Wyznacz q.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 25
- x(x + 5)² = x³ + 10x² + 25x
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.