Dział 3: Funkcje
Nierówności wielomianowe
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 2 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Nierówności wielomianowe rozwiązujemy, rozkładając wielomian na czynniki i szkicując „wężyk”.
Metoda
1) Rozłóż na czynniki. 2) Zaznacz pierwiastki na osi. 3) Rysuj wężyk od prawej strony: od góry, gdy współczynnik przy najwyższej potędze dodatni. 4) Przy pierwiastku parzystokrotnym wężyk się odbija.
Czynniki stałego znaku
x² + 1, x² + x + 5 (Δ < 0) itp. są zawsze dodatnie – można je pominąć.
Uwaga na punkty izolowane
(x − 1)²(x − 3) ≥ 0 ⇔ x = 1 lub x ≥ 3.
Przykład 1
(x + 2)(x − 1)(x − 4) < 0
Pokaż rozwiązanie
Wężyk: x ∈ (−∞; −2) ∪ (1; 4).
Uwaga! Nie dziel nierówności przez wyrażenie z x – możesz zgubić rozwiązania lub zmienić zwrot.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Rozwiąż nierówność: (x + 3)(x + 1)(x − 1) < 0
- A. (−∞; −3) ∪ (−1; 1)
- B. (−∞; −3)
- C. (−3; 1)
- D. (−3; −1) ∪ (1; +∞)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: (−∞; −3) ∪ (−1; 1)
- pierwiastki: −3, −1, 1
- (−∞; −3) ∪ (−1; 1)
Zadanie 2
Rozwiąż nierówność: (x − 2)²(x + 3) ≥ 0
- A. (−∞; −3⟩
- B. ⟨−3; +∞)
- C. ⟨−3; 2⟩
- D. {2}
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: ⟨−3; +∞)
- (x − 2)² ≥ 0, zero dla x = 2
- ⟨−3; +∞)
Zadanie 3
Ile liczb całkowitych spełnia nierówność (x + 5)(x + 3)(x² + 1) ≤ 0?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 3
- x ∈ ⟨−5; −3⟩
- liczb całkowitych: 3
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.