Dział 4: Pochodna funkcji
Ekstrema
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Ekstremum lokalne – największa lub najmniejsza wartość w otoczeniu punktu.
Warunek konieczny
Jeśli f ma ekstremum w x₀ i f′(x₀) istnieje, to f′(x₀) = 0 (ale nie odwrotnie – np. x³).
Warunek wystarczający
f′ zmienia znak w x₀: z + na − – maksimum, z − na + – minimum.
Przykład 1
f(x) = x³ − 3x
Pokaż rozwiązanie
f′ = 3(x − 1)(x + 1): max f(−1) = 2, min f(1) = −2.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Wyznacz maksimum lokalne (wartość) funkcji f(x) = x³ − 3x.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 2
- f(−1) = 2
Zadanie 2
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f(x) = x + 25x dla x > 0.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 10
- x = 5: f(5) = 10
Zadanie 3
Funkcja f(x) = x³ − 3x² − 5 ma ekstrema w punktach 0 i 2. Oblicz minimum lokalne.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: −9
- f(2) = 8 − 12 − 5 = −9
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.