Dział 5: Równania, nierówności, układy równań
Równania i nierówności z wartością bezwzględną (cd.)
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 1 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Wyrażenia z kilkoma wartościami bezwzględnymi rozwiązujemy w przedziałach albo korzystając z interpretacji odległości.
Metoda przedziałów
Wyznacz miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi, podziel oś na przedziały i w każdym opuść moduły ze znakiem.
Interpretacja odległości
|x − a| + |x − b| to suma odległości x od a i od b. Na odcinku ⟨a; b⟩ jest równa b − a, poza nim – większa.
Moduł w module
||x − a| − b| = c ⇔ |x − a| = b + c lub |x − a| = b − c.
Przykład 1
|x − 1| + |x − 5| = 6
Pokaż rozwiązanie
Odcinek ma długość 4, nadwyżka 2 – po 1 na zewnątrz: x = 0 lub x = 6.
Przykład 2
Najmniejsza wartość |x + 2| + |x − 3|?
Pokaż rozwiązanie
5 (dla x ∈ ⟨−2; 3⟩).
Uwaga! Najmniejsza wartość sumy odległości od kilku punktów jest w punkcie „środkowym” (medianie).
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Rozwiąż równanie: |x| + |x − 4| = 8
- A. ∅
- B. {0; 4}
- C. ⟨0; 4⟩
- D. {−2; 6}
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: {−2; 6}
- odległość między 0 a 4: 4
- 8 > 4 → po 2 na zewnątrz: x = −2 lub x = 6
- {−2; 6}
Zadanie 2
Rozwiąż nierówność: |x + 3| + |x − 1| ≤ 10
- A. ⟨−6; 4⟩
- B. (−∞; −6⟩ ∪ ⟨4; +∞)
- C. ⟨−3; 1⟩
- D. ⟨−13; 11⟩
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: ⟨−6; 4⟩
- |x − a| + |x − b| = 10 dla x = −6 i x = 4
- ⟨−6; 4⟩
Zadanie 3
Jaka jest najmniejsza wartość funkcji f(x) = |x + 6| + |x + 4| + |x + 2|?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 4
- x = −4: 2 + 0 + 2 = 4
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.