Dział 5: Równania, nierówności, układy równań
Układy równań oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 1 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Układ równań liniowych może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele albo żadnego. Geometrycznie to dwie proste: przecinające się, pokrywające się albo równoległe.
Oznaczony
Jedno rozwiązanie – proste się przecinają.
Nieoznaczony
Nieskończenie wiele – proste się pokrywają (po przekształceniu dostajemy 0 = 0).
Sprzeczny
Brak rozwiązań – proste równoległe (dostajemy np. 0 = 5).
Wyznaczniki a liczba rozwiązań
W ≠ 0 – oznaczony; W = Wx = Wy = 0 – nieoznaczony; W = 0 i Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0 – sprzeczny.
Przykład 1
Jaki jest układ: 2x + y = 3, 4x + 2y = 7?
Pokaż rozwiązanie
Drugie minus 2 · pierwsze: 0 = 1. Układ sprzeczny.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Jaki jest układ równań: −2x − y = 0
−4x − 2y = 0
−4x − 2y = 0
- A. sprzeczny (brak rozwiązań)
- B. oznaczony (jedno rozwiązanie)
- C. nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań)
- Lewa strona drugiego równania = 2 · lewa strona pierwszego, prawa też – to to samo równanie.
- Układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).
Zadanie 2
Dla jakich wartości a układ 4x + 4y = 6
12x + 12y = a jest sprzeczny?
12x + 12y = a jest sprzeczny?
- A. a ≠ 18
- B. a = 6
- C. a = 21
- D. a = 18
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: a ≠ 18
- 3 · 6 = 18
- Dla a ≠ 18 lewe strony są proporcjonalne, a prawe nie – sprzeczność.
Zadanie 3
Jaką interpretację geometryczną ma układ sprzeczny dwóch równań liniowych?
- A. dwie proste przecinające się w jednym punkcie
- B. dwie proste równoległe, rozłączne
- C. dwie proste pokrywające się
- D. dwie proste prostopadłe
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: dwie proste równoległe, rozłączne
- Układ sprzeczny: dwie proste równoległe, rozłączne.
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.