Dział 5: Trygonometria
Twierdzenie cosinusów
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 2 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Twierdzenie cosinusów to uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt.
Twierdzenie
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ
Kiedy stosować
Gdy znamy dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki.
Pole z kątem
P = 12ab · sin γ
Rodzaj kąta
cos γ = (a² + b² − c²) : (2ab) – znak cosinusa mówi, czy kąt jest ostry, prosty czy rozwarty.
Przykład 1
Boki 5 i 8, kąt między nimi 60°. Oblicz trzeci bok.
Pokaż rozwiązanie
c2 = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 12 = 49 ⇒ c = 7.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Dwa boki trójkąta mają długości 3 i 8, a kąt między nimi ma 60°. Oblicz długość trzeciego boku.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 7
- c² = 3² + 8² − 2 · 3 · 8 · 12 = 49
- c = 7
Zadanie 2
Boki trójkąta mają długości 3, 5 i 7. Oblicz miarę kąta leżącego naprzeciw boku 7.
- A. 30°
- B. 120°
- C. 60°
- D. 45°
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 120°
- cos γ = (9 + 25 − 49) : 30 = −12
- γ = 120°
Zadanie 3
Trójkąt ma boki 10, 3 i 10. Jaki to trójkąt?
- A. rozwartokątny
- B. ostrokątny
- C. prostokątny
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: ostrokątny
- 10² + 3² = 109, 10² = 100
- → ostrokątny
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.