Dział 2: Ciągi
Ciąg geometryczny
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 3 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
W ciągu geometrycznym każdy wyraz (od drugiego) powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez tę samą liczbę q – iloraz ciągu.
Wyraz ogólny
an = a1 · qn−1
Trzy liczby
a, b, c tworzą ciąg geometryczny ⇔ b2 = a · c.
Monotoniczność
a1 > 0 i q > 1 – rosnący; q < 0 – znaki się przeplatają.
Warunek na trzy wyrazy
a, b, c (różne od 0) tworzą ciąg geometryczny ⇔ b² = ac.
Przykład 1
a1 = 2, q = 3. Oblicz a5.
Pokaż rozwiązanie
an = a1 · qn−1, więc a5 = 2 · 34 = 2 · 81 = 162.
Przykład 2
Liczby 4, x, 9 tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich. Wyznacz x.
Pokaż rozwiązanie
W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiednich: x2 = 4 · 9 = 36.
Wyrazy są dodatnie, więc x = 6 (ciąg 4, 6, 9 ma iloraz 1,5).
Wyrazy są dodatnie, więc x = 6 (ciąg 4, 6, 9 ma iloraz 1,5).
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
W ciągu geometrycznym a1 = −3 i q = 3. Oblicz a3.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: −27
- a3 = −3 · 32 = −27
Zadanie 2
W ciągu geometrycznym a3 = −4 i a4 = −8. Oblicz a5.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: −16
- q = −8 : (−4) = 2
- a5 = −8 · 2 = −16
Zadanie 3
Liczby 1, x, 16 (w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich. Oblicz x.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 4
- x² = 1 · 16 = 16
- x = 4 (wyrazy dodatnie)
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.