Dział 2: Ciągi
Granice ciągów
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 3 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Ciąg jest zbieżny do g, gdy jego wyrazy, od pewnego miejsca, są dowolnie blisko g.
Definicja
Dla każdego ε > 0 prawie wszystkie wyrazy spełniają |aₙ − g| < ε.
Granice podstawowe
1/n → 0; qⁿ → 0 dla |q| < 1; qⁿ → +∞ dla q > 1; (−1)ⁿ – brak granicy.
Ilorazy wielomianów
Stopnie równe – iloraz współczynników przy najwyższych potęgach; licznik niższego stopnia – 0; wyższego – ±∞.
Działania
Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu (gdy mianownik ≠ 0) to odpowiednio suma, różnica… granic.
Przykład 1
lim 3n² + 12n² − n
Pokaż rozwiązanie
Podziel przez n²: 3/2.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Oblicz granicę: lim 2n − 5n + 1 (n → ∞)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 2
- 2 + −5/n1 + 1/n → 2
Zadanie 2
Oblicz granicę: lim −4n² + 3n + 14n² − 1 (n → ∞)
- A. −∞
- B. 0
- C. +∞
- D. −1
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: −1
- −1
Zadanie 3
Od którego wyrazu wszystkie wyrazy ciągu an = 2n + 1n różnią się od jego granicy o mniej niż 0,05?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 21
- granica 2; |aₙ − 2| = 1/n
- 1/n < 0,05 → n > 20
- od n = 21
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.