Dział 2: Ciągi
Obliczanie granic
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 3 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Typowe sposoby: dzielenie przez najwyższą potęgę, mnożenie przez wyrażenie sprzężone, wzory na sumy.
Najwyższa potęga
W ilorazie podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę n (lub największą podstawę potęgi, np. 3ⁿ).
Wyrażenie sprzężone
√(n² + kn) − n = kn√(n² + kn) + n → k2
Sumy
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 – potem granica ilorazu.
Przykład 1
lim 2 · 3ⁿ + 2ⁿ3ⁿ⁺¹
Pokaż rozwiązanie
Podziel przez 3ⁿ: 2/3.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Oblicz granicę: lim (√n² + 6n − n) (n → ∞)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 3
- 6n√n² + 6n + n → 62 = 3
Zadanie 2
Oblicz granicę: lim 4 · 4ⁿ + 2ⁿ4ⁿ⁺¹ (n → ∞)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 1
- 4 + (2/4)ⁿ4 → 44
Zadanie 3
Oblicz granicę: lim (2n + 1)²n² + 5 (n → ∞)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 4
- 4n² + 4n + 1n² + 5 → 4
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.