Dział 1: Prawdopodobieństwo, część 1
Wartość oczekiwana
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Wartość oczekiwana to średni wynik, jakiego spodziewamy się po wielu powtórzeniach gry.
Wzór
E = x1p1 + x2p2 + … + xnpn
Gra sprawiedliwa
Wartość oczekiwana wygranej (z uwzględnieniem stawki) równa się 0.
Gra sprawiedliwa
Gra jest sprawiedliwa, gdy wartość oczekiwana zysku (wygrana minus opłata) wynosi 0.
Przykład 1
Rzut kostką: szóstka – wygrywasz 10 zł, inaczej przegrywasz 2 zł. Oblicz wartość oczekiwaną.
Pokaż rozwiązanie
10 · 16 − 2 · 56 = 106 − 106 = 0 zł – gra sprawiedliwa.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Rzucamy kostką. Za szóstkę dostajesz 30 zł, za dwójkę lub czwórkę 0 zł, a za wynik nieparzysty płacisz 1 zł. Oblicz wartość oczekiwaną wygranej.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 4,5
- E = 30 · ⅙ + 0 · ²⁄₆ − 1 · ³⁄₆ = 4,5 zł
Zadanie 2
Los kosztuje 3 zł. Z prawdopodobieństwem 15 wygrywa 10 zł, w przeciwnym razie nic. Czy (w sensie wartości oczekiwanej) gra jest opłacalna dla kupującego?
- A. sprawiedliwa (E = cena losu)
- B. nieopłacalna
- C. opłacalna
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: nieopłacalna
- E = 10 · 15 = 2 zł
- 2 < 3 → nieopłacalna
Zadanie 3
Zmienna przyjmuje wartości 1, 4, 3 z prawdopodobieństwami odpowiednio 12, 14, 14. Oblicz wartość oczekiwaną.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 2,25
- 1 · 12 + 4 · 14 + 3 · 14 = 2,25
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.