Dział 5: Przygotowanie do matury
Ciągi
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Ściąga do powtórki: najważniejsze zasady i wzory ze wszystkich tematów, z których pochodzą zadania.
Przykłady ciągów
Wzór ogólny
an = 2n + 1: a1 = 3, a2 = 5, …
Wzór rekurencyjny
Kolejny wyraz z poprzedniego: a1 = 2, an+1 = 3an.
Monotoniczność
Badamy znak an+1 − an: dodatni – rosnący, ujemny – malejący.
Ciąg arytmetyczny
Wyraz ogólny
an = a1 + (n − 1)r
Średnia arytmetyczna
Wyraz środkowy: an = an−1 + an+12.
Trzy liczby
a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny ⇔ 2b = a + c.
Suma wyrazów ciągu arytmetycznego
Wzór
Sn = a1 + an2 · n
Wersja z r
Sn = 2a1 + (n − 1)r2 · n
Ciąg geometryczny
Wyraz ogólny
an = a1 · qn−1
Trzy liczby
a, b, c tworzą ciąg geometryczny ⇔ b2 = a · c.
Monotoniczność
a1 > 0 i q > 1 – rosnący; q < 0 – znaki się przeplatają.
Suma wyrazów ciągu geometrycznego
Wzór
Sn = a1 · 1 − qn1 − q
q = 1
Sn = n · a1.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Ciąg (an) jest określony wzorem an = n² dla n ≥ 1. Oblicz a3.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 9
- a3 = 9
Zadanie 2
Ciąg jest określony wzorem an = 2n − 5. Który wyraz tego ciągu jest równy 23?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 14
- 2n − 5 = 23
- n = 14
Zadanie 3
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg określony wzorem an = 5n − 46 (n ≥ 1)?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 9
- 5n − 46 < 0 → n < 9,2
- n ∈ {1, …, 9} → 9
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.