Dział 5: Przygotowanie do matury
Trygonometria
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Ściąga do powtórki: najważniejsze zasady i wzory ze wszystkich tematów, z których pochodzą zadania.
Sinus i cosinus kąta ostrego
Sinus
sin α = przyprostokątna naprzeciw αprzeciwprostokątna
Cosinus
cos α = przyprostokątna przy αprzeciwprostokątna
Zakres
Dla kąta ostrego 0 < sin α < 1 i 0 < cos α < 1.
Tangens kąta ostrego
Definicja
tg α = ab = przyprostokątna naprzeciwprzyprostokątna przy kącie
Nachylenie prostej
tg α to współczynnik kierunkowy prostej y = ax + b nachylonej pod kątem α do osi x.
Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60°
30°
sin = 12, cos = √32, tg = √33
45°
sin = cos = √22, tg = 1
60°
sin = √32, cos = 12, tg = √3
Uwaga! sin 30° = cos 60° i sin 60° = cos 30° – funkcje kątów, które dopełniają się do 90°.
Związki między funkcjami trygonometrycznymi
Jedynka trygonometryczna
sin2α + cos2α = 1
Tangens
tg α = sin αcos α
Kąty dopełniające
sin(90° − α) = cos α, cos(90° − α) = sin α.
Funkcje trygonometryczne kątów od 0° do 180°
Kąt rozwarty
sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α, tg(180° − α) = −tg α.
Znaki
Dla kąta rozwartego: sin > 0, cos < 0, tg < 0.
Szczególne
sin 0° = 0, cos 0° = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0, sin 180° = 0, cos 180° = −1.
Twierdzenie cosinusów
Twierdzenie
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ
Kiedy stosować
Gdy znamy dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki.
Pole z kątem
P = 12ab · sin γ
Twierdzenie sinusów
Twierdzenie
asin α = bsin β = csin γ = 2R
Kiedy stosować
Gdy znamy dwa kąty i bok albo bok i kąt naprzeciw niego.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Oblicz sin α.
- A. 512
- B. 513
- C. 125
- D. 1213
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 1213
- sin α = 12 : 13 = 1213
Zadanie 2
W trójkącie prostokątnym cos α = 817, a przeciwprostokątna ma długość 17. Oblicz długość przyprostokątnej leżącej przy kąta α.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 8
- 817 · 17 = 8
Zadanie 3
W trójkącie prostokątnym cos α = 817, a przyprostokątna leżąca przy kącie α ma długość 16. Oblicz długość przeciwprostokątnej.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 34
- 16 : 817 = 34
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.