Dział 5: Przygotowanie do matury
Geometria analityczna
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Ściąga do powtórki: najważniejsze zasady i wzory ze wszystkich tematów, z których pochodzą zadania.
Punkty i odcinki w układzie współrzędnych
Długość
|AB| = √(xB − xA)2 + (yB − yA)2
Środek
S = (xA + xB2, yA + yB2)
Brakujący koniec
Gdy S jest środkiem AB: B = (2xS − xA, 2yS − yA).
Równanie prostej
Współczynnik kierunkowy
a = yB − yAxB − xA = tg α
Prosta przez punkt
y − y0 = a(x − x0).
Pionowa
x = c (nie ma postaci kierunkowej).
Równanie prostej (cd.)
Równoległe
a1 = a2.
Prostopadłe
a1 · a2 = −1.
Odległość punktu od prostej
d = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
Równanie okręgu
Równanie
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
Postać ogólna
x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0, gdzie r2 = a2 + b2 − c > 0.
Styczna
Prosta odległa od środka o r.
Interpretacja geometryczna układu równań
Dwie proste
Jeden punkt (przecinają się), brak (równoległe), nieskończenie wiele (pokrywają się).
Prosta i parabola/okrąg
Po podstawieniu dostajemy równanie kwadratowe: Δ > 0 – dwa punkty, Δ = 0 – styczność, Δ < 0 – brak.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Oblicz długość odcinka AB, gdzie A = (−2, 3), B = (0, 4).
- A. √3
- B. √6
- C. √5
- D. 3
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: √5
- (0 − (−2))² + (4 − 3)² = 5
- |AB| = √5 = √5
Zadanie 2
Punkt S = (2, −4) jest środkiem odcinka AB, a A = (4, −6). Wyznacz B.
- A. (6, −8)
- B. (−2, 2)
- C. (0, −2)
- D. (3, −5)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: (0, −2)
- B = (2 · 2 − 4, 2 · (−4) − (−6)) = (0, −2)
Zadanie 3
Wyznacz obraz punktu A = (−1, 6) w symetrii względem osi OX.
- A. (1, 6)
- B. (−1, −6)
- C. (1, −6)
- D. (6, −1)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: (−1, −6)
- (−1, −6)
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.