Dział 5: Przygotowanie do matury

Działania na liczbach

Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4 – rozszerzenie.

Ćwicz ten temat

Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.

Załóż kontoZaloguj się

Ściąga do powtórki: najważniejsze zasady i wzory ze wszystkich tematów, z których pochodzą zadania.

Potęgi o wykładnikach całkowitych

Definicja

a−n = 1an   (a ≠ 0)

Ułamek

(ab)−n = (ba)n

Wzory

am·an = am+n, am : an = am−n, (am)n = amn.

Uwaga! Ujemny wykładnik nie robi liczby ujemnej: 2−3 = 1/8 > 0.

Pierwiastki

Mnożenie, dzielenie

√a · √b = √ab, √a : √b = √a : b

Wyłączanie czynnika

√75 = 5√3

Usuwanie niewymierności

1√2 = √22

Pierwiastek z kwadratu

√a2 = |a|

Potęgi o wykładnikach wymiernych

Definicja

a1/n = n√a,   am/n = n√am

Ujemny wykładnik

a−m/n = 1am/n

Wzory

Działają te same prawa co dla wykładników całkowitych (dla a > 0).

Uwaga! Najpierw pierwiastek (mianownik wykładnika), potem potęga (licznik) – liczby są mniejsze.

Pojęcie logarytmu

Definicja

loga b = c  ⇔  ac = b

Założenia

a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Szczególne

loga 1 = 0, loga a = 1, log b = log10 b.

Własności logarytmów

Iloczyn

loga(xy) = logax + logay

Iloraz

loga(x/y) = logax − logay

Potęga

logaxn = n · logax

Zmiana podstawy

logab = logcblogca

Uwaga! log(x + y) ≠ log x + log y – wzór działa tylko dla iloczynu.

Wzory skróconego mnożenia

Kwadrat sumy

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Kwadrat różnicy

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Różnica kwadratów

a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Uwaga! (a + b)2 ≠ a2 + b2 – nie zapominaj o 2ab.

Przedziały liczbowe

Domknięty

⟨2; 5⟩ – liczby x, dla których 2 ≤ x ≤ 5.

Otwarty

(2; 5) – 2 < x < 5.

Nieograniczony

⟨3; +∞) – x ≥ 3. Przy ±∞ zawsze nawias okrągły.

Na osi

Kółko zamalowane – koniec należy, puste – nie należy.

Przykładowe zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1
Oblicz:  2−3
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź: 18

  1. 2−3 = (12)3 = 18
Zadanie 2
Zapisz w postaci jednej potęgi:  x4 · x4 : x−3
  • A. x3
  • B. x19
  • C. x11
  • D. x5
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź: x11

  1. 4 + 4 − (−3) = 11
  2. Wynik: x11
Zadanie 3
Oblicz i zapisz w notacji wykładniczej:  (9 · 100) · (3 · 107)
  • A. 2,7 · 108
  • B. 27 · 107
  • C. 2,7 · 109
  • D. 2,7 · 100
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź: 2,7 · 108

  1. 9 · 3 = 27, wykładnik: 0 + 7 = 7
  2. 27 · 107 = 2,7 · 108

Chcesz rozwiązywać takie zadania?

Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.

Załóż kontoZaloguj się

Inne tematy w dziale „Przygotowanie do matury”