Dział 5: Przygotowanie do matury
Planimetria
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Ściąga do powtórki: najważniejsze zasady i wzory ze wszystkich tematów, z których pochodzą zadania.
Kąty. Kąty w trójkątach i w czworokątach
Przyległe i wierzchołkowe
Przyległe: suma 180°. Wierzchołkowe: równe.
Odpowiadające, naprzemianległe
Przy prostych równoległych są równe.
Kąt zewnętrzny trójkąta
Równa się sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.
Wielokąt
Suma kątów n-kąta: (n − 2) · 180°.
Twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie
a2 + b2 = c2
Odwrotne
Jeśli a2 + b2 = c2, to kąt naprzeciw c jest prosty.
Rodzaj trójkąta
c – najdłuższy bok. a2 + b2 > c2 – ostrokątny, < c2 – rozwartokątny.
Własności czworokątów
Równoległobok
Przekątne dzielą się na połowy, przeciwległe kąty są równe.
Romb
Przekątne prostopadłe, dzielą kąty na połowy. P = e · f : 2.
Prostokąt
Przekątne równe.
Trapez
Kąty przy ramieniu dają 180°. W trapez można wpisać okrąg, gdy a + b = c + d.
Czworokąt wpisany w okrąg
Sumy przeciwległych kątów wynoszą 180°.
Własności kątów środkowych i kątów wpisanych
Zależność
kąt środkowy = 2 · kąt wpisany
Ten sam łuk
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Półokrąg
Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.
Okrąg opisany na trójkącie. Okrąg wpisany w trójkąt
Trójkąt prostokątny
R = c2, r = a + b − c2
Trójkąt równoboczny
R = 23h = a√33, r = 13h = a√36
Pole a okrąg wpisany
P = r · p, gdzie p = a + b + c2 (połowa obwodu).
Pole koła. Długość okręgu
Okrąg i koło
L = 2πrP = πr2
Łuk
l = α360° · 2πr
Wycinek
P = α360° · πr2
Cechy podobieństwa trójkątów
kkk
Dwa kąty jednego są równe dwóm kątom drugiego.
bbb
Trzy pary boków mają ten sam stosunek.
bkb
Dwie pary boków proporcjonalne i równe kąty między nimi.
Pola figur podobnych
Pola
P′P = k2
W drugą stronę
k = √P′P
Uwaga! Boki rosną k razy, pola – k2 razy, objętości – k3 razy.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Oblicz miarę kąta x w trójkącie.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 31
- x = 180° − 46° − 103° = 31°
Zadanie 2
Kąty trójkąta są w stosunku 1 : 6 : 2. Oblicz miarę największego kąta.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 120
- 1 + 6 + 2 = 9 części, jedna część: 180° : 9 = 20°
- 6 · 20° = 120°
Zadanie 3
Trzy kąty czworokąta mają miary 101°, 66° i 120°. Oblicz czwarty kąt.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 73
- 360° − 101° − 66° − 120° = 73°
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.