Dział 5: Przygotowanie do matury
Funkcje wykładnicze i logarytmiczne
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Ściąga do powtórki: najważniejsze zasady i wzory ze wszystkich tematów, z których pochodzą zadania.
Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna
Wykładnicza
Dziedzina ℝ, wartości (0; ∞), przechodzi przez (0, 1).
Logarytmiczna
Dziedzina (0; ∞), wartości ℝ, przechodzi przez (1, 0).
Monotoniczność
a > 1 – obie rosnące; 0 < a < 1 – obie malejące.
Równania wykładnicze i logarytmiczne
Wykładnicze
af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x).
Logarytmiczne
loga f(x) = b ⇔ f(x) = ab (i f(x) > 0).
Dziedzina
Przy logarytmach zawsze sprawdź, czy liczba logarytmowana jest dodatnia.
Zastosowania funkcji wykładniczych i logarytmicznych
Wzrost o p% na okres
N = N0 · (1 + 0,01p)n
Spadek o p%
N = N0 · (1 − 0,01p)n
Czas połowicznego rozpadu T
N = N0 · (12)t/T
Własności logarytmów
Iloczyn
loga(xy) = logax + logay
Iloraz
loga(x/y) = logax − logay
Potęga
logaxn = n · logax
Zmiana podstawy
logab = logcblogca
Uwaga! log(x + y) ≠ log x + log y – wzór działa tylko dla iloczynu.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Dana jest funkcja f(x) = (12)x. Oblicz f(1).
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 0,5
- f(1) = (1/2)1 = 0,5
Zadanie 2
Dana jest funkcja f(x) = log3x. Oblicz f(13).
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: −1
- 3−1 = 13 → f = −1
Zadanie 3
Wykres funkcji f(x) = ax (a > 0) przechodzi przez punkt (3, 64). Oblicz a.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 4
- a3 = 64 → a = 4
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.