Dział 5: Przygotowanie do matury
Rachunek prawdopodobieństwa
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Ściąga do powtórki: najważniejsze zasady i wzory ze wszystkich tematów, z których pochodzą zadania.
Prawdopodobieństwo — podstawowe pojęcia
Klasyczna definicja
P(A) = |A||Ω|
Własności
0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω) = 1, P(∅) = 0.
Zdarzenie przeciwne
P(A′) = 1 − P(A).
Suma zdarzeń
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Obliczanie prawdopodobieństwa
Dwie kostki
|Ω| = 36.
Losowanie bez zwracania
Kolejne losowanie ma o jeden element mniej.
„Co najmniej jeden”
Łatwiej przez zdarzenie przeciwne: 1 − P(żaden).
Drzewka
Wzdłuż gałęzi
Prawdopodobieństwa mnożymy.
Kilka gałęzi
Wyniki gałęzi sprzyjających dodajemy.
Sprawdzenie
Prawdopodobieństwa wychodzące z jednego węzła sumują się do 1.
Wartość oczekiwana
Wzór
E = x1p1 + x2p2 + … + xnpn
Gra sprawiedliwa
Wartość oczekiwana wygranej (z uwzględnieniem stawki) równa się 0.
Zasada mnożenia i zasada dodawania
Mnożenie
Kod z 4 cyfr: 104. Ustawienie n osób: n! = 1 · 2 · … · n.
Dodawanie
Liczby dwucyfrowe parzyste lub zaczynające się od 9 – licz rozłączne przypadki i dodaj.
Wybór bez kolejności
Pary z n osób: n(n − 1)2.
Obliczanie prawdopodobieństwa (cd.)
Spójność
|Ω| i |A| liczymy tą samą metodą (oba z kolejnością albo oba bez).
Losowanie ze zwracaniem
|Ω| = nk.
Bez zwracania
|Ω| = n(n − 1)…(n − k + 1).
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Ile jest wszystkich zdarzeń elementarnych w doświadczeniu: losujemy dwie liczby (ze zwracaniem) ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5}?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 25
- |Ω| = 25
Zadanie 2
Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 14. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego A'.
- A. 14
- B. 34
- C. 18
- D. 4
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 34
- 1 − 14 = 34
Zadanie 3
Rzucamy dwiema kostkami. Ile zdarzeń elementarnych sprzyja zdarzeniu „suma oczek jest równa 7”?
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 6
- 6 par
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.