Dział 5: Przygotowanie do matury
Własności funkcji. Funkcja liniowa
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Ściąga do powtórki: najważniejsze zasady i wzory ze wszystkich tematów, z których pochodzą zadania.
Pojęcie funkcji
Dziedzina
Zbiór argumentów x. Wykluczamy dzielenie przez 0 i pierwiastki z liczb ujemnych.
Zbiór wartości
Wszystkie wartości f(x).
Miejsce zerowe
Argument, dla którego f(x) = 0.
Czytanie wykresów
f(a)
Wysokość wykresu nad punktem a.
f(x) = b
Argumenty, w których wykres przecina poziomą prostą y = b.
f(x) > 0
Argumenty, dla których wykres leży nad osią x.
Monotoniczność funkcji
Rosnąca
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Malejąca
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
Przedziały
Monotoniczność podajemy w przedziałach – odczytujemy je z osi x, nie y.
Wzór i wykres funkcji liniowej
Współczynnik a
Nachylenie: o ile zmienia się y, gdy x rośnie o 1.
Współczynnik b
Punkt przecięcia z osią y: (0, b).
Prosta przez dwa punkty
a = y2 − y1x2 − x1 b wyznaczamy, podstawiając jeden punkt.
Własności funkcji liniowej
Monotoniczność
a > 0 – rosnąca, a < 0 – malejąca, a = 0 – stała.
Miejsce zerowe
x0 = −ba (a ≠ 0)
Proste równoległe
Mają ten sam współczynnik a.
Proste prostopadłe
a1 · a2 = −1.
Przekształcanie wykresów funkcji
Przesunięcie w pionie
y = f(x) + q – o q w górę (q < 0 – w dół).
Przesunięcie w poziomie
y = f(x − p) – o p w prawo (p < 0 – w lewo).
O wektor [p, q]
y = f(x − p) + q
Uwaga! W poziomie „na odwrót”: f(x − 3) przesuwa w prawo, f(x + 3) – w lewo.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Dana jest funkcja f(x) = 2x² − x − 1. Oblicz f(−3).
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 20
- f(−3) = 2 · (−3)² − 1 · (−3) − 1
- = 20
Zadanie 2
Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = 1x − 4.
- A. ⟨4; +∞)
- B. (−∞; 4⟩
- C. ℝ \ {4}
- D. (4; +∞)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: ℝ \ {4}
- x − 4 ≠ 0 → x ≠ 4
- D = ℝ \ {4}
Zadanie 3
Który zbiór par (x, y) opisuje funkcję?
- A. {(2, 5), (5, −1), (1, 3), (2, 6)}
- B. {(2, 5), (5, −1), (1, 3), (5, 1)}
- C. {(2, 5), (5, −1), (1, 3), (1, 6)}
- D. {(2, 5), (5, −1), (1, 3)}
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: {(2, 5), (5, −1), (1, 3)}
- W zbiorze {(2, 5), (5, −1), (1, 3)} każdy argument występuje raz.
- W pozostałych któryś x ma dwie różne wartości.
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.