Dział 5: Przygotowanie do matury
Funkcja kwadratowa
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Ściąga do powtórki: najważniejsze zasady i wzory ze wszystkich tematów, z których pochodzą zadania.
Parabola
Ramiona
a > 0 – w górę, a < 0 – w dół.
Kształt
Im większe |a|, tym węższa parabola.
Oś symetrii
Prosta pionowa przez wierzchołek.
Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i kanonicznej
Wierzchołek
p = −b2a, q = −Δ4a = f(p)
Postać kanoniczna
y = a(x − p)2 + q
Przesunięcie
Wykres y = ax2 przesunięty o p w prawo i o q w górę.
Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej
Postać iloczynowa
y = a(x − x1)(x − x2)
Δ = 0
y = a(x − x0)2.
Δ < 0
Postaci iloczynowej nie ma.
Wierzchołek
p = (x1 + x2) : 2 – w połowie między miejscami zerowymi.
Funkcja kwadratowa — podsumowanie
Ogólna
y = ax2 + bx + c – c to punkt przecięcia z osią y.
Kanoniczna
y = a(x − p)2 + q – wierzchołek (p, q).
Iloczynowa
y = a(x − x1)(x − x2) – miejsca zerowe.
Zbiór wartości
a > 0: ⟨q; +∞), a < 0: (−∞; q⟩.
Nierówności kwadratowe
Kroki
1) Miejsca zerowe. 2) Szkic paraboli (kierunek ramion). 3) Odczyt z wykresu.
a > 0
Wartości ujemne między pierwiastkami, dodatnie na zewnątrz.
Δ < 0
Parabola cała nad osią (a > 0) albo pod (a < 0).
Uwaga! Przy znaku ≤ lub ≥ końce należą do rozwiązania – nawiasy ostre.
Zastosowania funkcji kwadratowej
Ekstremum
W x = p = −b2a wartość f(p) = q.
W przedziale domkniętym
Najmniejsza i największa wartość są w wierzchołku (jeśli należy do przedziału) albo na końcach.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Podaj współrzędne wierzchołka paraboli y = (x + 4)² − 6.
- A. (−4, −6)
- B. (4, 6)
- C. (−4, 6)
- D. (4, −6)
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: (−4, −6)
- p = −4, q = −6
- W = (−4, −6)
Zadanie 2
Punkt (−3, m) leży na paraboli y = 2x² − x + 1. Oblicz m.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 22
- m = 2 · (−3)² − 1 · (−3) + 1 = 22
Zadanie 3
Wykres funkcji y = −2x² przesunięto o 4 w prawo i o 5 w dół. Jaki wzór ma otrzymana funkcja?
- A. y = −2(x − 4)² − 5
- B. y = −2(x + 5)² + 4
- C. y = −2(x + 4)² − 5
- D. y = −2(x − 4)² + 5
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: y = −2(x − 4)² − 5
- p = 4, q = −5
- y = −2(x − 4)² − 5
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.