Dział 5: Przygotowanie do matury
Granice i pochodne
Teoria, przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku – matematyka, liceum, klasa 4 – rozszerzenie.
Ćwicz ten temat
Trening z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku, szybkie strzały i za każdym razem nowe zadania – po założeniu konta. Konto demo jest bezpłatne.
Powtórka granic, ciągłości i pochodnych – najważniejsze wzory z działów „Granice funkcji” i „Pochodna funkcji”.
Obliczanie granic
0/0 przy wielomianach
Rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć (x − a).
∞/∞
Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x.
Pierwiastki
Pomnóż przez wyrażenie sprzężone, np. (√(x + 4) − 2)/x = 1/(√(x + 4) + 2) → ¼.
Obliczanie granic (cd.)
Granica podstawowa
limx→0 sin x / x = 1 więc lim sin(kx)/x = k.
Asymptoty
Pozioma y = q: q = limx→±∞ f(x); pionowa x = a: granica jednostronna w a jest nieskończona.
Wielomian w ±∞
Decyduje wyraz najwyższego stopnia.
Funkcje ciągłe
Definicja
limx→x₀ f(x) = f(x₀)
Funkcje ciągłe
Wielomiany, funkcje wymierne (w dziedzinie), wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne są ciągłe w swoich dziedzinach.
Sklejanie
Funkcja określona dwoma wzorami jest ciągła w punkcie sklejenia ⇔ granice jednostronne są równe wartości.
Pochodna funkcji
Wzory
(c)′ = 0; (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹; (√x)′ = 12√x; (1/x)′ = −1/x²; (sin x)′ = cos x; (cos x)′ = −sin x.
Reguły
(f ± g)′ = f′ ± g′, (cf)′ = cf′ (fg)′ = f′g + fg′ (f/g)′ = f′g − fg′g²
Pochodna funkcji złożonej
Wzór
[g(h(x))]′ = g′(h(x)) · h′(x)
Przykłady
((2x + 1)⁵)′ = 10(2x + 1)⁴; (√(x² + 9))′ = x√x² + 9.
Ekstrema
Warunek konieczny
Jeśli f ma ekstremum w x₀ i f′(x₀) istnieje, to f′(x₀) = 0 (ale nie odwrotnie – np. x³).
Warunek wystarczający
f′ zmienia znak w x₀: z + na − – maksimum, z − na + – minimum.
Zastosowania pochodnej (cd.)
Schemat
1) Oznacz zmienną i wyznacz dziedzinę. 2) Zapisz funkcję. 3) Policz pochodną i jej miejsca zerowe. 4) Zbadaj znak pochodnej. 5) Odpowiedz na pytanie.
Przykład
Pudełko z kwadratu a: V(x) = x(a − 2x)², maksimum dla x = a/6.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Oblicz limx→−3 x² − 9x + 3.
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: −6
- (x + 3)(x − 3)x + 3 = x − 3 → −6
Zadanie 2
Oblicz granicę jednostronną limx→1⁺ 1x − 1.
- A. nie istnieje
- B. −∞
- C. +∞
- D. 0
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: +∞
- x − 1 → 0⁺
- +∞
Zadanie 3
limx→+∞ (½)ˣ jest równa:
- A. 1
- B. +∞
- C. 0
- D. ½
Pokaż rozwiązanie
Odpowiedź: 0
- 0
Chcesz rozwiązywać takie zadania?
Załóż konto i ćwicz z podpowiedziami – każde zadanie sprawdzimy i pokażemy rozwiązanie. Konto demo jest bezpłatne.